大家應該還記得在《LED 封裝器件芯片結溫測試淺述(上)》里面我們有提及到 “電流跳變”的瞬態測試方法，如果我們在跳變之后不斷地采集電壓信號，直到器件冷卻到環境溫度，我們就可以得到LED在降溫過程中它的電壓隨時間的變化曲線，又因為這些電壓變化都是在測試電流下得到的，我們只需要把電壓信號除以K系數就可以得到溫度變化隨時間的曲線(因為k=Δv/Δt)，溫度變化曲線如圖1所示：

圖1 溫度變化-時間曲線

　　時間對數化

　　事實上，圖1中的時間軸是經過對數化處理的，因為實際進行采樣時我們是得益于設備的高速采樣可以在1μs(即10^-6s)后采集到第一個電壓的變化值，但采樣總時間的數量級一般都在1s～10³s范圍內，時間的數量級跨度大而且時間越往后溫度變化就越慢，數據的重要度也隨之降低，因此在數據處理時我們把時間進行對數化處理。時間對數化后的曲線如圖2b所示。

圖2a溫度變化響應曲線 圖2b溫度變化響應曲線(時間對數化后)

　　對比圖2a和圖2b可以發現，對數前處理前的數據變化不直觀，對數化處理后卻能把瞬態切換后幾微秒內的溫度變化充分表示出來。后文在計算中也要用到時間對數化的推導。

　　這次我們就用這個曲線來獲得我們神奇的結構函數。首先要介紹一下：

　　阻容網絡的物理模型

　　首先，我們需要構造一個導熱的模型。不如先從簡單開始，假設熱源到環境的導熱只有一個路徑，而且是一種材料，這種材料是各向同性而且形狀規則，有一定的熱阻與熱容，習慣上我們也同樣用電阻電容的符號來代表熱阻和熱容，熱源從材料的左表面流到右表面(環境)，如圖3所示。

圖3熱傳導模型圖示及RC網絡

　　在這個簡單的模型里，我們看到這樣的一個RC(阻容)網絡，如圖4，在這個網絡里，熱源當作一個恒流源，而熱阻與熱容并聯到環境，我們稱之為一階RC網絡。

圖4 一階RC網絡

　　在數字信號處理領域，通常都是利用一個系統的響應再把系統的結構分析出來。所謂響應就是系統在某一特定信號源的激勵下產生的反應(輸出特性)，比如有人在你身后喊了一聲你的名字，有的人會回頭望而有的人不回頭只是應了一聲。不同的系統會有不同的響應，同一個系統在不同信號的激勵下也會有不同的響應。

　　現在我們把這個一階RC網絡看成一個系統，那要用什么信號做激勵呢?其實文初我們提到的“電流跳變”就可以做為一個信號源，一般我們把這種電流跳變信號稱為單位階躍信號，因為它的信號就像臺階一樣突然從低跳到高(或從高到低)，那這個系統在單位階躍信號激勵下的響應是怎樣的呢?

　　如果輸入信號是單位階躍信號，則這個系統的響應我們簡稱為該系統的單位階躍響應。

　　那么一階RC網絡的單位階躍響應為

圖5 一階RC網絡及對應的時間常數圖

　　式1中的 τ我們稱為時間常數，它是信號處理領域里的常用的表征時間的物理量，其量綱單位和時間一樣，也是秒[s]。時間常數的含義是指某物理量從最大值衰減到最大值的1/e(或從最小值增加到最大值的1-1/e倍)所需要的時間，比如一個滿電荷的電容兩端并聯一個電阻，那么電容兩端的電壓從最大值放電到最大值的1/e倍所花的時間就是 。

　　這里我們稱τ為“熱時間常數”以示區分，因為它代表的是熱阻與熱容的乘積。

　　現在我們把結構的數量從1個升級到n個，那么就會變成n階RC網絡，如圖6所示。

圖6 n階RC網絡

　　其對應的單位階躍響應為

　　一般我們把這種結構的RC網絡稱為n階福斯特(Foster)結構，其對應的熱時間常數譜如圖7所示。

圖7 n階福斯特結構的熱時間常數圖

　　實際上，材料與材料之間的交接界面是同樣存在熱阻與熱容的，器件各材料之間也不可能完全看成獨立成單一的熱阻熱容，我們應該認為熱阻與熱容的變化是連續的，于是我們需要把這個離散的多項式進行連續化處理，也就是當n趨向于正無窮的時候，可把(式2)改為

　　(式3)中的R（τ）稱為時間常數譜函數，我們用連續的R（τ）來取代離散的R_thi 。它的時間常數圖為連續譜圖，如圖8所示。

圖8 連續譜圖

　　(式3)這個公式代表的就是一個連續RC網絡的單位階躍響應。

　　看回文初的圖1b溫度變化曲線，事實上這個曲線在對數化處理前對應的表達式就是