求解熱時間常數(shù)譜函數(shù)

　　我們再看回R（τ），其實如果我們知道了R（τ）的表達(dá)式，那么我們就相當(dāng)于知道了這個系統(tǒng)的熱阻和熱容的關(guān)系，也就是知道了這個系統(tǒng)(福斯特網(wǎng)絡(luò))的所有結(jié)構(gòu)。那么為了得到我們系統(tǒng)的熱阻熱容結(jié)構(gòu)，下面就開始把R（τ）求出來：

　　觀察右邊的形式，其實就是信號處理里最常見的卷積形式，即

　　到這里我們就得到了R（τ）的解析式，離結(jié)構(gòu)還差一步之遙!

　　我們看看(式9)，W_z（Z）是已知的可積函數(shù)，d／dz·a（z）是單位階躍響應(yīng)(時間對數(shù)化后)的微分，也就是導(dǎo)數(shù)，我們都可以用計算機(jī)算出來。剩下的就只有反卷積運算了。反卷積運算的方法有很多，比如有貝葉斯反卷積法以及傅利葉頻域反卷積法，都是很成熟的算法，這里要涉及的知識較多，就不一一展開了。

　　現(xiàn)在我們得到了R（z）——熱時間常數(shù)譜函數(shù)，它實際的圖像如圖9所示。

圖9 實際樣品的熱時間常數(shù)譜圖

　　這個函數(shù)圖像就是經(jīng)過上述的數(shù)學(xué)變換及數(shù)學(xué)運算得出來的，我們下面就利用這個函數(shù)把熱阻熱容結(jié)構(gòu)剖析出來。

　　從圖里我們可以明顯看出對應(yīng)不同的 其幅值有不同起伏變化，表現(xiàn)出一定的離散性，我們就由此來定義這個熱時間常數(shù)譜函數(shù)：

　　簡單來說就是把這個函數(shù)切成無數(shù)個小塊，把這些小塊都拼接起來就是R（ζ）了。而這每一個小塊就是對應(yīng)1階福斯特結(jié)構(gòu)，如圖10所示。

圖10 熱時間常數(shù)譜函數(shù)圖像與n階福斯特網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)關(guān)系

　　根據(jù) 的定義，我們可以得到

　　福斯特-考爾網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換

　　很多讀者應(yīng)該會認(rèn)為到這里已經(jīng)結(jié)束了，但事實上，這只是對應(yīng)福斯特網(wǎng)絡(luò)的熱阻熱容值，

　　而在福斯特網(wǎng)絡(luò)這個模型里的熱容是節(jié)點到節(jié)點的熱容值，它與器件的實際情況不一致，是沒有對應(yīng)的物理意義的。為什么呢?這里我們把這個小問題留給大家(提示：用電容來舉例，假如一個系統(tǒng)由若干個電容串聯(lián)，系統(tǒng)的總?cè)葜蹬c各個電容的關(guān)系怎么算?)。因此福斯特結(jié)構(gòu)并不適合描述我們半導(dǎo)體器件的熱阻熱容特性。

　　雖然福斯特結(jié)構(gòu)不適合用來描述我們實際器件的情形，但有另一種結(jié)構(gòu)卻可以與它相互轉(zhuǎn)換，這個結(jié)構(gòu)我們稱為考爾(Cauer)結(jié)構(gòu)，如圖11所示。

圖11 a)福斯特結(jié)構(gòu);b)考爾結(jié)構(gòu)

　　福斯特結(jié)構(gòu)與考爾結(jié)構(gòu)對于單端無源RC網(wǎng)絡(luò)都是等價的，因為他們可以相互轉(zhuǎn)換，但考爾結(jié)構(gòu)與我們談到的器件的熱阻熱容結(jié)構(gòu)可以說是完全吻合，我們之所以談了這么多福斯特結(jié)構(gòu)是因為它的時間常數(shù)計算是一種很優(yōu)秀的數(shù)學(xué)手段，同時減少了很多復(fù)雜的計算。

　　由于篇幅有限，這兩個網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)換過程我們這里就不做多述了，經(jīng)過轉(zhuǎn)換之后我們會得到的R_thi和C_thi的新的表達(dá)形式。

　　繪制結(jié)構(gòu)函數(shù)

　　我們得到了考爾網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)下的熱阻R_thi和熱容C_thi，但這些參數(shù)都不能直觀地表示出來，我們現(xiàn)在用圖3構(gòu)造的模型把這個阻容結(jié)構(gòu)表示出來，如圖12所示。

圖12 理想一維熱傳導(dǎo)模型

　　圖12中： 表示平行于熱流路徑的材料厚度;A表示垂直于熱流路徑的材料橫截面積; 表示材料的熱導(dǎo)率; 表示單位體積的熱容值。我們可以得出總熱阻與總熱容的表達(dá)式：

　　利用(式13)與(式14)，與考爾網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)下的熱阻R_thi和熱容C_thi結(jié)合，我們就得到我們苦苦追求的結(jié)構(gòu)函數(shù)，如圖13所示：

圖13 考爾結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)函數(shù)的對應(yīng)

　　至此我們對結(jié)構(gòu)函數(shù)的推導(dǎo)終于結(jié)束了～

　　在最后，我們再把整個推導(dǎo)用流程圖的方式展示出來，如圖14所示：

圖14 結(jié)構(gòu)函數(shù)推導(dǎo)流程圖